선형대수학
선형대수학이란?
이름만 들어보면 대단해보이고 어려워보이지만 사실 매우 간단히 방정식을 푸는 학문이다.
그것도 2차, 3차 방정식이 아닌 1차 방정식, 즉 선형 방정식만 푸는 학문이다.
물론 관점을 바꾸고 치환을 도입하게 되면 모든 방정식을 선형으로 만들 수 있지만 일단은 그렇다 치고 넘어가자.
선형대수학에서는 x + 2y = 4, 2x + 5y = 9 같은 식을 행렬과 벡터로 표현할 것이기 때문에
행렬과 벡터에 대해 공부하는 학문이라고도 한다.
연립된 1차 방정식들
결국 선형대수학, 선대에서는 연립된 1차 방정식들을 푸는 것과 같다고 했다.
그렇다면 연립 1차 방정식이란 무엇일까?
방정식
연립일차방정식을 알아 보기 전에 그 전 단계인 방정식을 먼저 알아야 한다.
방정식(equation)은 미지수(unknown)를 포함하는 등식이다.
예를 들어, 미지수 x,y 에 대해 2x + 3y -1 = 0 이런 등식은 모두 방정식이다.
또 방정식을 만족하는 미지수 값을 방정식의 해(solution)라고 한다.
방정식을 만족하는 모든 해를 해집합(solution set)이라고 하고 방정식의 해집합을 구하는 것을 방정식을 푼다 라고 한다.
이런 방정식 중에서 미지수가 1인 방정식을 일차방정식(linear equation)이라고 한다.
추가로 상수항이 0인 방정식을 동차방정식(homogeneous equation)이라고 한다..
연립일차방정식
그럼 다시 연립일차방정식으로 돌아와서,
x, y 등 n개의 미지수에 관한 유한개의 일차방정식의 모임을 연립일차방정식(system of linear equation)이라고 한다.
마찬가지로 연립일차방정식의 해(solution)는 각 방정식을 모두 성립하는 순서쌍이여야 한다.
이런 해의 전체 집합을 해집합이라고 하며, 동일한 해집합을 갖는 두 연립일차방정식을 동치(equivalent)이라고 한다.
계수만을 이용한 연립일차방정식의 풀이
이제 위에 예시를 가져와 x + 2y = 4, 2x + 5y = 9 두가지 1차 방정식을 합친 연립 방정식을 풀어보자.
소거법, 대입법 등 우리가 알고 있는 많은 방식으로 푸는 방법이 여러분의 뇌를 스쳐 지나갈 것이다.
예시처럼 쉬운 연립 방정식만 풀었다면 우리가 생각한 방식으로도 손 쉽게 풀 수 있다.
하지만 변수가 5개가 넘어가고 방정식이 10개가 넘는 방정식도 풀 수 있어야 되기 때문에
계수만을 이용해 연립일차방정식을 푸는 방식을 배워야 한다.
간단하게 생각해보면 우리가 푸는 방법에 핵심은 식에 계수에 있다.
계수가 1인 변수를 만들어 대입 하기도 하고, 계수를 같게 만들어 식을 소거하기도 한다.
이런 생각으로 더 간편하게 계산하기 위해 방정식에서 계수만을 남기게 되는 것이다.
그럼 먼저 연립방정식의 계수만을 표현하는 방법을 알아보자.
n개의 미지수를 갖는 m개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식에 대하여,
그 계수만을 가지고 직사각형 모양으로 배열한 것을 첨가행렬(augmented matrix)라고 한다.
그리고 첨가행렬의 가로줄을 행(row) 세로줄을 열(column)이라고 한다.
이제 이 첨가행렬을 이용하여 연립일차방정식의 해를 구한다.
기본 행 연산
행렬을 이용해서 해를 구하려면 연립일차방정식을 젼화시켜도 해집합이 변하지 않아야 한다.
즉, 연립일차방석을 동치인 연립일차방정식으로 바뀌는 방법인 기본 식 연산 을 사용해야 한다.
마찬가지로 첨가행렬에 기본 식 연산을 시행하면 첨가행렬은 변하지만 연립일차방정식은 동치이다.
이렇게 첨가행렬을 해집합이 변하지 않게 변화시키는 것을 기본 행 연산(elementary ro operation)이라고 한다.
- 한행에 0이 아닌 상수 k를 곱한다.
- 한행에 k배하여 다른 행에 더한다.
- 두행을 교환한다.
기본 행 연산은 위 3가지 방법을 필요에 따라 사용하는 것이다.
첨가행렬 A에 기본 행 연산을 시행하여 얻은 첨가행렬을 B라고 하면,
A와 B는 행동치(row equivalent)라고 한다.
행렬
행렬을 살펴보면 가로줄을 행(row) 세로줄을 열(column)으로 부른다.
행이 2개면 2행 열이 2개면 2열로 한다. 이걸 간단히 곱하기로 표현하여 2X2 행렬이라고 부른다.
또 열과 행 둘중 하나가 1이면 행벡터, 열벡터라고 부른다.
행렬에 들어간 값을 표현하기 위해선 좌표평면에서 좌표를 지정하듯,
2행 1열의 값, 1행 2열의 값 등으로 표현한다. 이걸 성분(element)라고 부르기도 한다.
벡터에는 밑줄을 그어서 표현한다. 글에서 행렬은 대문자 볼드체 벡터는 소문자 볼드체를 사용한다.
행렬과 벡터의 곱은 행렬의 행과 벡터의 열의 원소를 곱한 다음 더해야한다.
벡터와 스칼라
숫자를 한줄로 쌓은 것을 벡터라고 했는데 좌표 평면에 벡터의 값을 좌표라고 생각해보자.
좌표에 대한 점을 찍고 원점에서 좌표까지 선을 그어 화살표로 표시하는 것이 벡터이다.
벡터는 크기와 방향을 가지고 있다.
벡터의 크기를 구하는 법은 피타고라스 정리를 이용하여 구하면 된다.
방향은 양의 X축과 이루는 각도를 이용해 구한다.
크기와 방향이 같으면 같은 벡터이다.
백터의 합과 뺄셈은 각 원소를 더하거나 뺴면 된다.
물론 좌표평면에서 나타내면 끝점과 시작점을 맞춰 나아가는 느낌으로 첫점과 끝점의 벡터로 구해진다.
스칼라배는 벡터에 숫자 하나 곱하는 것이다.